Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 4148
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной пря­мы­ми y = 5x минус 7, y = минус 3x плюс 6, x = минус 1, x = 2.

1) 29
2) 28,125
3) 28,5
4) 28,25
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем абс­цис­су точки пе­ре­се­че­ния пря­мых y = 5x минус 7 и y = минус 3x плюс 6:

5x минус 7 = минус 3x плюс 6 рав­но­силь­но 8x = 13 рав­но­силь­но x = дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Най­ден­ная абс­цис­са лежит внут­ри от­рез­ка  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , по­это­му фи­гу­ра со­сто­ит из двух ча­стей, а ее пло­щадь равна сумме двух сла­га­е­мых:

S = \abs ин­те­грал пре­де­лы: от минус 1 до \tfrac13, 8 левая круг­лая скоб­ка 8x минус 13 пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс \abs ин­те­грал \limits_\tfrac138 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 8x минус 13 пра­вая круг­лая скоб­ка dx .

По­лу­ча­ем:

ин­те­грал пре­де­лы: от минус 1 до \tfrac13, 8 левая круг­лая скоб­ка 8x минус 13 пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те минус 13x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от минус 1 до \tfrac13, 8 = 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 169, зна­ме­на­тель: 64 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 13 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 105, зна­ме­на­тель: 64 конец дроби минус 13 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 105, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 273, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 546 минус 105, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 441, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби ,

ин­те­грал \limits_\tfrac138 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 8x минус 13 пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те минус 13x пра­вая круг­лая скоб­ка | \limits_\tfrac138 в квад­ра­те = 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 4 минус дробь: чис­ли­тель: 169, зна­ме­на­тель: 64 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 13 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =
= 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 87, зна­ме­на­тель: 64 конец дроби минус 13 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 87, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 39, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 87 минус 78, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби .

Най­дем сумму мо­ду­лей най­ден­ных ве­ли­чин:

S = \abs минус дробь: чис­ли­тель: 441, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс \abs дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 441 плюс 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 450, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 225, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = целая часть: 28, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 = 28,125.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Изоб­ра­зим за­дан­ные линии на ри­сун­ке и вы­де­лим цве­том фи­гу­ру, пло­щадь ко­то­рой не­об­хо­ди­мо найти. Фи­гу­ра со­сто­ит из двух тре­уголь­ни­ков. Боль­ший из тре­уголь­ни­ков имеет ос­но­ва­ние 21, а вы­со­ту  1 плюс дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . Его пло­щадь равна

S_1 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 441, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби .

Вы­со­та мень­ше­го тре­уголь­ни­ка равна  2 минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , а ос­но­ва­ние равно 3, по­это­му пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка равна

S_2 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби .

Для ис­ко­мой пло­ща­ди фи­гу­ры имеем:

S = S_1 плюс S_2 = дробь: чис­ли­тель: 441, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 450, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 225, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = целая часть: 28, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 = 28,125.

Классификатор алгебры: 15\.10\. При­ме­не­ние ин­те­гра­ла к на­хож­де­нию пло­ща­дей фигур
Спрятать решение · Помощь