РЕШУ ЕНТ — математика

Задания

Тип 18 № 4148 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 15\.10\. Применение интеграла к нахождению площадей фигур

Определенный интеграл: площадь фигур. Задания для подготовки

Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми $y = 5x минус 7,$ $y = минус 3x плюс 6,$ $x = минус 1,$ $x = 2.$

1) 29

2) 28,125

3) 28,5

4) 28,25

Решение. Найдем абсциссу точки пересечения прямых $y = 5x минус 7$ и $y = минус 3x плюс 6:$

$5x минус 7 = минус 3x плюс 6 равносильно 8x = 13 равносильно x = дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби .$

Найденная абсцисса лежит внутри отрезка  $левая квадратная скобка минус 1; 2 правая квадратная скобка ,$ поэтому фигура состоит из двух частей, а ее площадь равна сумме двух слагаемых:

$S = \abs интеграл пределы: от минус 1 до \tfrac13, 8 левая круглая скобка 8x минус 13 правая круглая скобка dx плюс \abs интеграл \limits_\tfrac138 в квадрате левая круглая скобка 8x минус 13 правая круглая скобка dx .$ $S = \abs интеграл пределы: от минус 1 до \tfrac13, 8 левая круглая скобка 8x минус 13 правая круглая скобка dx плюс$
$плюс \abs интеграл \limits_\tfrac138 в квадрате левая круглая скобка 8x минус 13 правая круглая скобка dx .$

Получаем:

$интеграл пределы: от минус 1 до \tfrac13, 8 левая круглая скобка 8x минус 13 правая круглая скобка dx = левая круглая скобка 4x в квадрате минус 13x правая круглая скобка | пределы: от минус 1 до \tfrac13, 8 =$
$= 4 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 169, знаменатель: 64 конец дроби минус 1 правая круглая скобка минус 13 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби плюс 1 правая круглая скобка = 4 умножить на дробь: числитель: 105, знаменатель: 64 конец дроби минус 13 умножить на дробь: числитель: 21, знаменатель: 8 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 105, знаменатель: 16 конец дроби минус дробь: числитель: 273, знаменатель: 8 конец дроби = минус дробь: числитель: 546 минус 105, знаменатель: 16 конец дроби = минус дробь: числитель: 441, знаменатель: 16 конец дроби ,$ $интеграл пределы: от минус 1 до \tfrac13, 8 левая круглая скобка 8x минус 13 правая круглая скобка dx = левая круглая скобка 4x в квадрате минус 13x правая круглая скобка | пределы: от минус 1 до \tfrac13, 8 =$
$= 4 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 169, знаменатель: 64 конец дроби минус 1 правая круглая скобка минус 13 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби плюс 1 правая круглая скобка =$
$= 4 умножить на дробь: числитель: 105, знаменатель: 64 конец дроби минус 13 умножить на дробь: числитель: 21, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 105, знаменатель: 16 конец дроби минус дробь: числитель: 273, знаменатель: 8 конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: 546 минус 105, знаменатель: 16 конец дроби = минус дробь: числитель: 441, знаменатель: 16 конец дроби ,$ $интеграл пределы: от минус 1 до \tfrac13, 8 левая круглая скобка 8x минус 13 правая круглая скобка dx =$
$= левая круглая скобка 4x в квадрате минус 13x правая круглая скобка | пределы: от минус 1 до \tfrac13, 8 =$
$= 4 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 169, знаменатель: 64 конец дроби минус 1 правая круглая скобка минус 13 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби плюс 1 правая круглая скобка =$
$= 4 умножить на дробь: числитель: 105, знаменатель: 64 конец дроби минус 13 умножить на дробь: числитель: 21, знаменатель: 8 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 105, знаменатель: 16 конец дроби минус дробь: числитель: 273, знаменатель: 8 конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: 546 минус 105, знаменатель: 16 конец дроби = минус дробь: числитель: 441, знаменатель: 16 конец дроби ,$

$интеграл \limits_\tfrac138 в квадрате левая круглая скобка 8x минус 13 правая круглая скобка dx = левая круглая скобка 4x в квадрате минус 13x правая круглая скобка | \limits_\tfrac138 в квадрате =$
$= 4 умножить на левая круглая скобка 4 минус дробь: числитель: 169, знаменатель: 64 конец дроби правая круглая скобка минус 13 умножить на левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка = 4 умножить на дробь: числитель: 87, знаменатель: 64 конец дроби минус 13 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 87, знаменатель: 16 конец дроби минус дробь: числитель: 39, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 87 минус 78, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби .$ $интеграл \limits_\tfrac138 в квадрате левая круглая скобка 8x минус 13 правая круглая скобка dx = левая круглая скобка 4x в квадрате минус 13x правая круглая скобка | \limits_\tfrac138 в квадрате =$
$= 4 умножить на левая круглая скобка 4 минус дробь: числитель: 169, знаменатель: 64 конец дроби правая круглая скобка минус 13 умножить на левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка =$
$= 4 умножить на дробь: числитель: 87, знаменатель: 64 конец дроби минус 13 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 87, знаменатель: 16 конец дроби минус дробь: числитель: 39, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 87 минус 78, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби .$ $интеграл \limits_\tfrac138 в квадрате левая круглая скобка 8x минус 13 правая круглая скобка dx = левая круглая скобка 4x в квадрате минус 13x правая круглая скобка | \limits_\tfrac138 в квадрате =$
$= 4 умножить на левая круглая скобка 4 минус дробь: числитель: 169, знаменатель: 64 конец дроби правая круглая скобка минус 13 умножить на левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка =$
$= 4 умножить на дробь: числитель: 87, знаменатель: 64 конец дроби минус 13 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 87, знаменатель: 16 конец дроби минус дробь: числитель: 39, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 87 минус 78, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби .$ $интеграл \limits_\tfrac138 в квадрате левая круглая скобка 8x минус 13 правая круглая скобка dx =$
$= левая круглая скобка 4x в квадрате минус 13x правая круглая скобка | \limits_\tfrac138 в квадрате =$
$= 4 умножить на левая круглая скобка 4 минус дробь: числитель: 169, знаменатель: 64 конец дроби правая круглая скобка минус 13 умножить на левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка =$
$= 4 умножить на дробь: числитель: 87, знаменатель: 64 конец дроби минус 13 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 87, знаменатель: 16 конец дроби минус дробь: числитель: 39, знаменатель: 8 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 87 минус 78, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби .$

Найдем сумму модулей найденных величин:

$S = \abs минус дробь: числитель: 441, знаменатель: 16 конец дроби плюс \abs дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 441 плюс 9, знаменатель: 16 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 450, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 225, знаменатель: 8 конец дроби = целая часть: 28, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 = 28,125.$ $S = \abs минус дробь: числитель: 441, знаменатель: 16 конец дроби плюс \abs дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 441 плюс 9, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 450, знаменатель: 16 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 225, знаменатель: 8 конец дроби = целая часть: 28, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 = 28,125.$

Правильный ответ указан под номером 2.

Приведем другое решение.

Изобразим заданные линии на рисунке и выделим цветом фигуру, площадь которой необходимо найти. Фигура состоит из двух треугольников. Больший из треугольников имеет основание 21, а высоту  $1 плюс дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 21, знаменатель: 8 конец дроби .$ Его площадь равна

$S_1 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 21 умножить на дробь: числитель: 21, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 441, знаменатель: 16 конец дроби .$

Высота меньшего треугольника равна  $2 минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби ,$ а основание равно 3, поэтому площадь этого треугольника равна

$S_2 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби .$

Для искомой площади фигуры имеем:

$S = S_1 плюс S_2 = дробь: числитель: 441, знаменатель: 16 конец дроби плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 450, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 225, знаменатель: 8 конец дроби = целая часть: 28, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 = 28,125.$ $S = S_1 плюс S_2 = дробь: числитель: 441, знаменатель: 16 конец дроби плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 450, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 225, знаменатель: 8 конец дроби =$
$= целая часть: 28, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 = 28,125.$

Ответ: 2

4148

Классификатор алгебры: 15\.10\. Применение интеграла к нахождению площадей фигур

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	4148	2