ЕНТ–2025: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д46 A46 № 4098 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с комплексными числами

Сложные комплексные числа. Решение уравнений с комплексными числами

Решите уравнение: $z в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 2z в квадрате плюс 1=0.$

1) $z=i,$

2) $z= минус 1 плюс i,$

3) $z=1 минус i,$

4) $z=1$

5) $z= минус 1$

6) $z= минус i,$

Решение.

Пусть $t = z в квадрате ,$ тогда $t в квадрате минус 2t плюс 1 = 0.$ Пусть $t = x плюс iy,$ где x и y  — вещественные числа. Тогда:

$левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно x в квадрате плюс 2xiy плюс i в квадрате y в квадрате минус 2x минус 2iy плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус y в квадрате минус 2x плюс 2xiy минус 2iy = минус 1 равносильно$ $левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2xiy плюс i в квадрате y в квадрате минус 2x минус 2iy плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус y в квадрате минус 2x плюс 2xiy минус 2iy = минус 1 равносильно$

$равносильно x в квадрате минус y в квадрате минус 2x плюс i левая круглая скобка 2xy минус 2y правая круглая скобка = минус 1 равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате минус 2x = минус 1,2xy минус 2y = 0. конец системы .$

Рассмотрим уравнение $2xy минус 2y = 0:$

$2xy минус 2y = 0 равносильно 2y левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений y = 0,x = 1. конец совокупности .$

Рассмотрим случай y  =  0:

$система выражений x в квадрате минус y в квадрате минус 2x = минус 1,y = 0 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате минус 2x плюс 1 = 0,y = 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 0,y = 0 конец системы . равносильно система выражений x = 1,y = 0. конец системы .$ $система выражений x в квадрате минус y в квадрате минус 2x = минус 1,y = 0 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате минус 2x плюс 1 = 0,y = 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 0,y = 0 конец системы . равносильно система выражений x = 1,y = 0. конец системы .$

Рассмотрим случай x  =  1:

$система выражений x в квадрате минус y в квадрате минус 2x = минус 1,x = 1 конец системы . равносильно система выражений x = 1,y = 0. конец системы .$

Вернемся к исходной переменной: $t = 1,$ тогда $z в квадрате = 1 равносильно совокупность выражений z = 1,z = минус 1. конец совокупности .$

Правильные ответы указаны под номерами 4 и 5.

Ответ: 45

Аналоги к заданию № 4097: 4098 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх