1. Тип 17 № 1952 
Классификатор алгебры: 3\.13\. Системы уравнений
Системы трансцендентных уравнений или неравенств. Задания для подготовки
i
Решите систему уравнений: 
1) (9; 1)
2) (−1; −4,5)
3) (−2; −4,5)
4) (1; 9)
Решение. Рассмотрим первое уравнение системы. По определению логарифма числа x и y положительны, поэтому второй и третий варианты ответа не верны. Первый, и четвертый варианты ответа удовлетворяют первому уравнению. Рассмотрев второе уравнение системы, видим, что решение x = 1, y = 9 обращает уравнение в верное равенство, а решение x = 9, y = 1 — нет. Поэтому решением уравнения являются x = 1, y = 9.
Правильный ответ указан под номером 4.
Ответ: 4
1952
4
Классификатор алгебры: 3\.13\. Системы уравнений
где {
} являются решением системы уравнений: 
Подставляя это значение в первое уравнение, находим 
откуда 
получим 
Ясно что 
при всех x, остается только потребовать, чтобы 
Значит, ответом на систему будет 
откуда 
Из второго уравнения находим 
Подставляя это выражение в уравнение 
получаем 
(тогда 
или 
(невозможно, 
не определен).
откуда 
и тогда 
(поскольку 
при всех x), то есть 
откуда 
Окончательно получаем 
получим 
Ясно что 
при всех x, остается только потребовать, чтобы 
то есть 
Значит, ответом на систему будет 
Подставляя это выражение в первое уравнение, находим
то уравнение сводится к 
что невозможно при этом условии. Значит, таких корней нет и деление уравнения на 
не приведет к потере корней.
или 
либо 
y же получается домножением этих выражений на 2.
На единичной окружности (см. рисунок) отметим дуги, на которых 
и 
Пересечением этих дуг будет дуга 
Значит, 
Тогда 
откуда 
и 
Подставляя это значение в первое уравнение, находим 
отрицательно и первое неравенство неопределённо. Значит, у системы нет решений.
а второе 
откуда 
поэтому 
Тогда второе уравнение принимает вид 
Возводя это уравнение в квадрат, получаем 
и 
равняется нулю, а второе тогда — единице (в силу уравнения 
Значит, подходят точки 
и 
Их можно записать и одним набором — в виде 
Тогда 
знак неравенства меняется. Решим второе неравенство:
Преобразуем первое неравенство
первый множитель положителен, значит, неравенство сводится к 
то есть 
значит, 
или 
Тогда 
и для таких чисел второе уравнение системы определено, поэтому все переходы в нем были для данной пары чисел равносильны и она действительно является решением.
в первое уравнение, получим 
На единичной окружности (см. рисунок) отметим дуги, на которых 
и 
Пересечением этих дуг будет дуга 
Значит, 
Тогда второе уравнение дает 
и 
корнем знаменателя 
Рассматривая промежутки на числовой оси между этими точками, находим ответ 
то есть 
При таких x первое неравенство выполнено автоматически, если только подкоренное выражение неотрицательно, что бывает при 
Итак, ответ 
(и вообще при всех 
Первое же дает 
откуда 
Учитывая условие 
причем при таких x обе его части неотрицательны и можно возвести неравенство в квадрат.
Значит, ответом на систему будет 
знак неравенства надо было поменять. 
и укажите количество целых решений системы неравенств.
откуда 
Второе — только при условии 
что оставляет для целого x только варианты 2; 3; 4; 5. Можно было бы просто перебрать их. Но мы решим систему, поскольку это тоже просят сделать, хотя и не проверяют.
и 
откуда 
и 
Очевидно 
и 
годятся, а по теореме, обратной теореме Виета, никаких других решений быть не может, суммой и произведением пара чисел определяется не более чем одним способом.
однако первое неравенство все равно определено только при 
поэтому про второе можно больше не думать.
получим 
то их частное 
равно
Из второго уравнения, возводя его в квадрат, находим 
Тогда 
Значит, 
первое неравенство выполняться не может (отрицательное число не может быть больше корня, даже если он определен). Значит, 
При таких x второе неравенство выполнено автоматически, а первое можно возвести в квадрат (обе его части определены и неотрицательны), получим 
окончательным ответом будет 
Разберем два случая.
то 
Подставляя это выражение в первое уравнение, получим 
то 
Подставляя это выражение в первое уравнение, получим 
